Die Mengenlehre ist die mathematische Theorie des Unendlichen.
Stärke und Universalität der Axiome erlauben die Formalisierung von formalen Sprachen und Beweisen innerhalb der Theorie; die so ermöglichte Nachbildung des Lügner-Paradoxons ( dieser Satz ist falsch ) innerhalb der Mengenlehre ergibt aber einen in der Mengenlehre nicht entscheidbaren Satz ( Gödelscher Unvollständigkeitssatz ).
Weitere Untersuchungen haben gezeigt, dass auch einfache kombinatorische Eigenschaften unendlicher Mengen wie die Frage wieviele reelle Zahlen gibt es? von den Zermelo-Fraenkelschen Axiomen nicht entschieden werden.
www.math.uni-bonn.deSet theory is the mathematical theory of the infinite.
The strength and universaliy of the axioms allow to formalize formal languages and proofs within the theory.This allows to imitate the liar paradox “ this sentence is false ” and leads to a statement which cannot be decided inside set theory ( Gödel incompleteness theorem ).
Further research has shown that some simple properties of infinite sets like “ how many real numbers are there ” are not decided by the Zermelo-Fraenkel axioms.
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