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Monolingual examples (not verified by PONS Editors)

German
Als Konvergenzradius einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt ist die größte Zahl definiert, für welche die Potenzreihe für alle mit konvergiert.
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Da für die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d. h. Summe und Integral vertauschen.
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Die Folge konvergiert aber nicht fast sicher punktweise gegen 0, da an einer beliebigen Stelle jeder der Werte 0 und 1 beliebig oft angenommen wird.
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Die wiederholte Multiplikation konvergiert damit gegen den größten Eigenvektor.
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Ein wertvoller Beitrag zur Stochastik ist das Prinzip der Konvergenz mit Wahrscheinlichkeit 1, mit der eine Folge von Zufallsvariablen fast sicher gegen eine Zufallsvariable konvergiert.
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Wie bereits weiter oben erwähnt, gibt es eine Variante des Verfahrens, die im Falle überbestimmter Gleichungssysteme wesentlich schneller konvergiert.
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Für nahe 1 konvergiert diese Reihenentwicklung extrem langsam.
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Man sagt, eine Nullfolge konvergiert mindestens so schnell wie eine Nullfolge, wenn gilt.
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Diese Reihe konvergiert, genauso wie die der gewöhnlichen Exponentialfunktion, immer.
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In diesem Fall konvergieren die Iterierten gegen eine Lösung der Gleichung, also gegen einen Fixpunkt der Iterationsfunktion.
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